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     Supremgoooo 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 代数系统课后习题的几个小问题

    习题15，P237，答案是alpha15，P96

    今天开始复习离散数学，看了肖大侠的答案，有几处小问题问问：
    （1）6题，g(x)没给出定义，对它的定义域，值域如何理解？对每一小问的封闭如何理解，即(f+g)(x)取值在什么范围内认为它封闭？
    （2）14题，我认为答案（P100）中的v4也是平凡子代数
    （3）15题第二问，我认为根据定义15.11，v5={{2},0,2},v6={{3},0,3},v7={{2,3},0,2}也是答案
    （4）20题，关于布尔加，布尔乘的定义我在书上没找到，我猜想布尔加是求最大下界，布尔乘是求最小上界。这与肖大侠的理解正好相反？
    （5）30题第一问，答案P107：“从而有xk”应改为nx。


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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    (1) 第6题题目的意思是说，f和g都是S中的元素。把f和g作运算，看得到的新元素（也是一个函数）是否仍属于S。因为题目中已经说了“问S关于下面的每个运算……”，可见“载体”是S，运算是对S中的元素（即各种R上的函数）进行的。

    (2) 根据教材定义15.12（《离散数学教程》第229页），V中“所有零元运算的集合K，若K对V中所有的运算封闭，则<K,o_1,o_2,...,o_r>是V的子代数，称这个子代数和V自身是V的平凡子代数”。但这道题中给出的代数系统没有零元运算，也就是说，K为空集。但空集不能构成代数系统（代数系统中的定义中说到，载体A应为非空集合）。
        所以我认为，如果题目写成<Z_6,+,0>的形式，那么V_4就是平凡子代数了。但题目写的是<Z_6,+>，我认为这时只有V_1是平凡子代数。
        这个想法的依据如下：假如不要“零元运算K”这个条件，而只要“单元素”这个条件就可以了，那么同一个代数系统就可能会有多于两个“平凡子代数”。例如，整数Z对整数乘法*构造半群<Z,*>。那么{0},{1}和{0,1}哪个是它的平凡子代数呢？
        我认为，它们3个都不是<Z,*>的平凡子代数。但<{0},*,0>是代数系统<Z,*,0>的平凡子代数，<{1},*,1>是代数系统<Z,*,1>的平凡子代数，<{0,1},*,0,1>是代数系统<Z,*,0,1>的平凡子代数。
        总之，平凡子代数应该取决于原代数系统的运算和公理。
        你觉得呢？

    (3) 子代数的定义要求原样保留所有的运算，你给出的代数系统已经修改了零元运算，它虽是代数系统，但不是原系统的子代数。简单地说，你给出的代数系统对零元运算"1"不封闭。

    (4) 想像一下，对“A”和“非A”做布尔加，得到1。那么1是A和非A的上界还是下界呢？

    (5) 的确。谢谢提醒！：）

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                                - Bertrand Russell

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     Supremgoooo 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    对第4个还没想通。。。

    今天又胡思乱想到一个问题：
    有一个命题：含有单位元且满足消去律的有限半群是群。

    我就构造了一个代数系统：G={A，*}，A={a,b,c}，其中a是单位元，b是2阶元，c是零元。显然G不是群，应为c没有逆元。但是G满足结合律，是半群。而且G满足消去律，有单位元，有限，按照上面的命题G是群。

    我的思路哪里错了？

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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    此“消去律”非彼“消去律”。
    教材上定义的“消去律”要求a不是零元。
    但你那个命题中的“消去律”不要求这一点。
    如果按照教材上对“消去律”的定义，那个命题就要改成：如果G是一个有限半群，G满足（教材中定义的）消去律，且G没有零元，则G是群。
    上述命题就是教材中的定理17.6。
    凡是说“含有单位元且满足消去律的有限半群是群”的书，它们对“消去律”的定义都是：“对任意a,b,c∈G，有a*b=a*c → b=c”（注意，这里对a没有限制）。

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    发贴心情 
    对第4个，1>=a>=0，这个没有问题吧（“1”常被称为“全上界”）？
    所以两个变量的布尔加比原来的值“大”。

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    发贴心情 
    都理解了！谢谢！

    就是说群中的消去律和代数系统，环中的消去律不一样，群中一般是不讨论零元的。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/14 22:12:00
     
     Supremgoooo 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    今天又遇到一个问题：教材P259下面表18.1：
    (1+x)+(1+x)=0和xx=1+x这两个。我咋算不是这样呢，请问一下具体的计算过程。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/15 22:30:00
     
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    发贴心情 
    1、因为F_2[x]是定义在模2数域F_2上的环。所以1+1=0，x+x=0。
    2、x*x=x^2 = x^2 + (1+x+x^2) = 1+x。
    简单地说，x^2与1+x是“模(1+x+x^2)同余的”。换句话说，如果我们以x^2为“被除式”，以1+x+x^2为“除式”，作多项式除法，我们可以得到“余式”：-1-x。但由于F_2[x]是定义在模2数域上的，所以-1=1，-x=x，-1-x=1+x。

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    发贴心情 
    对答案的几处质疑：
    （1）P114，16.10题，我认为V8={{0，1}，@}也是半群，且是子独异点。
    （2）P98，15.8题，关于单位元的讨论，p=q=1时，-r就是单位元（r是常数）。
    （3）P99，15.9题，x逆是x/（x-1）
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/18 19:28:00
     
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    发贴心情 
    的确。三条都如你所言。谢谢！：）

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