今天开始复习离散数学，看了肖大侠的答案，有几处小问题问问：
（1）6题，g(x)没给出定义，对它的定义域，值域如何理解？对每一小问的封闭如何理解，即(f+g)(x)取值在什么范围内认为它封闭？
（2）14题，我认为答案（P100）中的v4也是平凡子代数
（3）15题第二问，我认为根据定义15.11，v5={{2},0,2},v6={{3},0,3},v7={{2,3},0,2}也是答案
（4）20题，关于布尔加，布尔乘的定义我在书上没找到，我猜想布尔加是求最大下界，布尔乘是求最小上界。这与肖大侠的理解正好相反？
（5）30题第一问，答案P107：“从而有xk”应改为nx。

(2) 根据教材定义15.12（《离散数学教程》第229页），V中“所有零元运算的集合K，若K对V中所有的运算封闭，则<K,o_1,o_2,...,o_r>是V的子代数，称这个子代数和V自身是V的平凡子代数”。但这道题中给出的代数系统没有零元运算，也就是说，K为空集。但空集不能构成代数系统（代数系统中的定义中说到，载体A应为非空集合）。
    所以我认为，如果题目写成<Z_6,+,0>的形式，那么V_4就是平凡子代数了。但题目写的是<Z_6,+>，我认为这时只有V_1是平凡子代数。
    这个想法的依据如下：假如不要“零元运算K”这个条件，而只要“单元素”这个条件就可以了，那么同一个代数系统就可能会有多于两个“平凡子代数”。例如，整数Z对整数乘法*构造半群<Z,*>。那么{0},{1}和{0,1}哪个是它的平凡子代数呢？
    我认为，它们3个都不是<Z,*>的平凡子代数。但<{0},*,0>是代数系统<Z,*,0>的平凡子代数，<{1},*,1>是代数系统<Z,*,1>的平凡子代数，<{0,1},*,0,1>是代数系统<Z,*,0,1>的平凡子代数。
    总之，平凡子代数应该取决于原代数系统的运算和公理。
    你觉得呢？

(3) 子代数的定义要求原样保留所有的运算，你给出的代数系统已经修改了零元运算，它虽是代数系统，但不是原系统的子代数。简单地说，你给出的代数系统对零元运算"1"不封闭。

(4) 想像一下，对“A”和“非A”做布尔加，得到1。那么1是A和非A的上界还是下界呢？

(5) 的确。谢谢提醒！：）

今天又胡思乱想到一个问题：
有一个命题：含有单位元且满足消去律的有限半群是群。

我就构造了一个代数系统：G={A，*}，A={a,b,c}，其中a是单位元，b是2阶元，c是零元。显然G不是群，应为c没有逆元。但是G满足结合律，是半群。而且G满足消去律，有单位元，有限，按照上面的命题G是群。

我的思路哪里错了？

就是说群中的消去律和代数系统，环中的消去律不一样，群中一般是不讨论零元的。

2 .平凡子代数我的答案是{0}和它自身
3. 看一下课本例:15.13 logician说的很有道理
4.我理解的0 1代表bool 值,数据结构中经常碰到的，那两个运算应该如下
1A1=1 1A0=0 0A1=0 0A0=0
1V1=1 1V0=1 0V1=1 0V0=0

4.布尔加是求最小上界的元算，理由：x+0=x。你写的对

哦，楼上大侠说得对

（2）域可以有一个不是域的子环吗？

（1）
i和iii是一回事，都是“对所有x(┐(P(x)∧Q(x)))”，即，一个元素不可能既是零因子又是可逆元。当一个代数系统中有两个以上的元素（从而零元不等于单元位）时，这个命题是成立的。

ii和iv也是一回事，都是说“对所有x(P(x)∨Q(x))”，即，一会元素要么是零因子，要么是可逆元。这个命题不成立。反例1：零元本身不是零因子，也不是可逆元。反例2：设V=<Z,*>为整数对乘法构成的代数系统，除0和1之外，所有的元素都不可逆，但也不是零因子。

（2）当你把一个代数系统V看成“域”（即，把关于域的几个要求作为这个代数系统的“公理”）时，它只能有子域，不能有子环。但当你把V看成环（即，不把那些性质看成公理）时，V当然可以有子环。

第二个问题的来源是：教材P297，18.13，题目第一句话说到：“T是域F的子环”，这里为什么用“子环”而不用“子域”，我猜想存在一个F的子环R，Va,b属于R，有a-b属于R，ab属于R。而Va属于R，a的逆不一定属于R。这个猜想成立吗？（V表示任意）

至于你的猜想，显然成立。这样的例子很好找。比如整数环Z是有理数域Q的子环，但不是子域。

还有俩问题：
（1）关于原子，我认为原子就是哈斯图的倒数第二层。我提出一个命题：
布尔格中的任何一个元素都至少和某一个原子可比。请问这个咋证明？

（2）在19.33题的证明中，肖大侠用到了：y=(-xVa)Ab来说明y是x的补元，问一下这个y的值是怎么想出来的？
因为我们知道：有xVy=b，xAy=a，是否能由这两个式子及x，y有补解出y=(-xVa)Ab，即布尔格中是否有一些类似群方程的性质？

（2）要找一个比a大、比b小的元素，所以肯定要对a取“∧”，对b取“∨”，另一方面肯定与x有关。按这个思路写出y的大概形式，再考虑一下这样的式子在与x运算后会变成什么样，就可以了。