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     * 贴子主题： 08年真题最后一题 （关于无零因子环的）  的做法？ 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     benz725 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1986-7-25
      
      
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    发贴心情 08年真题最后一题 （关于无零因子环的）  的做法？

    9.无零因子环R中有一个非零元满足x^2=x,证明这个元即是R中的单位元。


    有人说移项  然后提取成x(x-1)=0?
    根据无0因子且x不为0，则x=1?

    但这个1也不一定是乘法单元啊，
    请问高手具体应该怎么做？


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/11/30 23:41:00
     
     ProjectD 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    (ux-u)^2=0;
    (xu-u)^2=0
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/1 17:30:00
     
     ProjectD 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    直接分配律u(x-1)=0可以吧？
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/1 17:34:00
     
     whasic 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    做这个题用不着高手吧……

    无零因子环当且仅当消去率
    对任意a属于R a<>0
    x^2=x
    则 a x^2= a x
    即 a x x= a x
    右消x得 ax=x
    因此右单位元
    x^2 a = x a
    即 x x a=x a
    左消x得 x a= a
    因此左单位元
    综上 单位元

    ----------------------------------------------
    再见，国立交通大学。 你好，国立北京大学

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/1 22:48:00
     
     benz725 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1986-7-25
      
      
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    发贴心情 
    是么，消去律不是乘法有逆元才有的？
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/1 23:01:00
     
     bravery 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    我同意whasic的做法
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/2 11:37:00
     
     whasic 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    定理18.2
    无零因子环是和乘法消去律互为充要
    再说证明过程中用的是负元，跟乘法逆元没半毛钱关系

    ----------------------------------------------
    再见，国立交通大学。 你好，国立北京大学

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/2 12:09:00
     
     benz725 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1986-7-25
      
      
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    发贴心情 
    不错，证法看懂了，思路还有点蒙，谢过了~
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/3 18:32:00
     
     t9010 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    反证法：
    若x不是右单位元，则存在y属于R且y<>0,使得yx<>y即yx-y<>0
    但是
    (yx-y)x=yx^2-yx    (环分配律)
    =yx-yx                   (乘法结合律和已知条件x^2=x)
    =0
    因为yx-y<>0 且x<>0。但(yx-y)x=0这与已知的无零因子矛盾。所以x为右单位元。
    类似可证x为左单位元。则x为单位元。

    我觉得这样做就不会因为忘记消去律与无零因子互为充要这一定理而做不出来了。
    不知道这样做对不对？

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/12/6 16:07:00
     
     whasic 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    我认为这样做是对的
    第一次做真题时，没用定理我也是这样证的
    但是这样表述我觉得不大舒服
    当然原理没错 怎么表述都行
    个人意见
    我是这样表述的
    由x^2=x
    对任意y属于R有yx^2=yx
    由分配律有yx^2-yx=(yx-y)x
    而yx^2-yx=yx-yx=0
    故(yx-y)x=0 由无零因子环和x不等于0
    有yx-x=0即yx=x
    由y的任意性，x右单位元
    同理左单位元
    故单位元

    不太舒服的是用不等号那个位置 既然本身是反设 再不等号 不如用逆否等价之在表述上更简洁

    ----------------------------------------------
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