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----  08年真题最后一题 （关于无零因子环的）  的做法？  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=69961)

--  作者：benz725
--  发布时间：11/30/2008 11:41:00 PM

--  08年真题最后一题 （关于无零因子环的）  的做法？
9.无零因子环R中有一个非零元满足x^2=x,证明这个元即是R中的单位元。


有人说移项  然后提取成x(x-1)=0?
根据无0因子且x不为0，则x=1?

但这个1也不一定是乘法单元啊，
请问高手具体应该怎么做？

--  作者：ProjectD
--  发布时间：12/1/2008 5:30:00 PM

--  
(ux-u)^2=0;
(xu-u)^2=0
--  作者：ProjectD
--  发布时间：12/1/2008 5:34:00 PM

--  
直接分配律u(x-1)=0可以吧？
--  作者：whasic
--  发布时间：12/1/2008 10:48:00 PM

--  
做这个题用不着高手吧……

无零因子环当且仅当消去率
对任意a属于R a<>0
x^2=x
则 a x^2= a x
即 a x x= a x
右消x得 ax=x
因此右单位元
x^2 a = x a
即 x x a=x a
左消x得 x a= a
因此左单位元
综上 单位元


--  作者：benz725
--  发布时间：12/1/2008 11:01:00 PM

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是么，消去律不是乘法有逆元才有的？
--  作者：bravery
--  发布时间：12/2/2008 11:37:00 AM

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我同意whasic的做法
--  作者：whasic
--  发布时间：12/2/2008 12:09:00 PM

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定理18.2
无零因子环是和乘法消去律互为充要
再说证明过程中用的是负元，跟乘法逆元没半毛钱关系
--  作者：benz725
--  发布时间：12/3/2008 6:32:00 PM

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不错，证法看懂了，思路还有点蒙，谢过了~
--  作者：t9010
--  发布时间：12/6/2008 4:07:00 PM

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反证法：
若x不是右单位元，则存在y属于R且y<>0,使得yx<>y即yx-y<>0
但是
(yx-y)x=yx^2-yx    (环分配律)
=yx-yx                   (乘法结合律和已知条件x^2=x)
=0
因为yx-y<>0 且x<>0。但(yx-y)x=0这与已知的无零因子矛盾。所以x为右单位元。
类似可证x为左单位元。则x为单位元。

我觉得这样做就不会因为忘记消去律与无零因子互为充要这一定理而做不出来了。
不知道这样做对不对？

--  作者：whasic
--  发布时间：12/6/2008 9:33:00 PM

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我认为这样做是对的
第一次做真题时，没用定理我也是这样证的
但是这样表述我觉得不大舒服
当然原理没错 怎么表述都行
个人意见
我是这样表述的
由x^2=x
对任意y属于R有yx^2=yx
由分配律有yx^2-yx=(yx-y)x
而yx^2-yx=yx-yx=0
故(yx-y)x=0 由无零因子环和x不等于0
有yx-x=0即yx=x
由y的任意性，x右单位元
同理左单位元
故单位元

不太舒服的是用不等号那个位置 既然本身是反设 再不等号 不如用逆否等价之在表述上更简洁


--  作者：sunny_yk
--  发布时间：12/8/2008 9:49:00 AM

--  
记e为x^2=x的非零解，对于任意的R中的元素y,e(ey-y)=e^2y-ey=ey-ey=0,由于R为非零因子环且e非零，所以ey-y=0,所以ey=y，而ye=ey=e(由于《R，+》为ABEL群)，所以e为R的单位元！
--  作者：深白色的阳光
--  发布时间：12/20/2008 2:40:00 PM

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我严重同意4楼的做法。

在下认为：所有一开始就写x=x*1再代入x*x=x的证法都是不妥当的，因为还不确定环R是否为含幺环。
但是，我们也没有必要用反证法来证明R中一定有单位元，再根据x的满足单位元的性质以及单位元的唯一性来证明此题。我们直接利用题设给定的条件来证明x是左单位元和右单位元就可以了，如同4楼的证法一样。用反证法证明R是含幺环的方法确实稍微走了点歧路。。。

--  作者：深白色的阳光
--  发布时间：12/20/2008 2:44:00 PM

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额，补充一句，如果你一开始就设单位元是1，然后再去推算出x=1的话，那么最后就不得不用反证法证明这个单位元是存在的了
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