计算机科学论坛--离散数学，关于单群及相关的几个判断

贴子主题：离散数学，关于单群及相关的几个判断

本主题类别:

以下是引用cpkug在2008-10-6 0:01:00的发言：
还有其它问题想问：

反设G2不是单群，取G2的非平凡正规子群H，对于任意a∈G2，aH = Ha，所以f^{-1}(aH)=f^{-1}(Ha)，即f^{-1}(a)f^{-1}(H)=f^{-1}(a)f^{-1}(H)，从而f^{-1}(H)是G1的非平凡正规子群，矛盾。

上面这个推理行不？

主要是想问在下面这个前提下：
设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是同构，H是G2的子群，对于任意a∈G2

以下结论是否成立：
f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)
？

如果上面的结论成立的话，把“f是同构”改成“f是满同态映射”是否成立，即以下结论是否成立：
设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是满同态映射，H是G2的子群，对于任意a∈G2，
f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

你最后的命题是成立的。

首先证明 f^{-1}(aH) 是 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 的子集。
对任何 x∈f^{-1}(aH)，
依定义有f(x)∈aH，
从而有h∈H，使得f(x)=ah
即，a^{-1}f(x) = h
任取y∈f^{-1}(a) （由于f是满同态，所以f^{-1}(a)非空，可见这样的y是存在的）
则 a*f(y^{-1}x) = f(y)*f(y^{-1}x) = f(yy^{-1}x) = f(x) = a*h
有消去律可知，f(y^{-1}x)=h∈H，从而 y^{-1}x ∈f^{-1}(H)
这就是说，x = y * y^{-1}x ∈f^{-1}(a)f^{-1}(H)。
这就证明了 f^{-1}(aH) 是 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 的子集。

下面证 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 是 f^{-1}(aH) 的子集。
对任意 x∈f^{-1}(a)f^{-1}(H)
必有y∈f^{-1}(a)，z∈f^{-1}(H)
使得x=yz
注意f(y)=a，f(z)=h∈H
从而f(x)=f(y)f(z)=ah∈aH
即x∈f^{-1}(aH)。
这就证明了 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 是 f^{-1}(aH) 的子集。

Q.E.D.

*树形目录（最近20个回帖）	顶端
主题：离散数学，关于单群及相关的几个判断(405字) － cpkug，2008年10月3日
回复：单群一定是循环群嘛？？？(24字) － xwxwxw123，2009年2月26日
回复： f^{-1}(H) 我想问一下，这个f的反函数一定存在吗？(51字) － xwxwxw123，2009年2月26日
回复：好的，谢谢！(12字) － cpkug，2008年10月8日
回复：还有其它问题想问：设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是同构，H是G2的子群，对于..(244字) － cpkug，2008年10月6日
回复： [quote][b]以下是引用[i]cpkug在2008-10-6 23:05:00[/i]的发言..(367字) － Logician，2008年10月9日
回复：感谢精彩证明！发现有点小问题，这个问题来源于最开始我给的那个命题表述：设G1，G2是群，f：..(549字) － cpkug，2008年10月6日
回复：貌似书上有约定，对于任意函数f:A->B，任意元素y属于B，f^{-1}(y)定义为f^{-1}(..(819字) － Logician，2008年10月8日
回复： a> 对b> 反设G2不是单群，那么取G2的非平凡正规子群H，易证f^{-1}(H)是G1的非平..(149字) － Logician，2008年10月5日
回复： [quote][b]以下是引用[i]Logician在2008-10-5 21:23:00[/i]..(779字) － cpkug，2008年10月6日
回复： [quote][b]以下是引用[i]cpkug在2008-10-6 0:01:00[/i]的发言：..(1394字) － Logician，2008年10月6日

*树形目录（最近20个回帖）

顶端

主题：

离散数学，关于单群及相关的几个判断(405字) － cpkug，2008年10月3日

回复：

单群一定是循环群嘛？？？(24字) － xwxwxw123，2009年2月26日

回复：

f^{-1}(H) 我想问一下，这个f的反函数一定存在吗？(51字) － xwxwxw123，2009年2月26日

回复：

好的，谢谢！(12字) － cpkug，2008年10月8日

回复：

还有其它问题想问：设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是同构，H是G2的子群，对于..(244字) － cpkug，2008年10月6日

回复：

[quote][b]以下是引用[i]cpkug在2008-10-6 23:05:00[/i]的发言..(367字) － Logician，2008年10月9日

回复：

感谢精彩证明！发现有点小问题，这个问题来源于最开始我给的那个命题表述：设G1，G2是群，f：..(549字) － cpkug，2008年10月6日

回复：

貌似书上有约定，对于任意函数f:A->B，任意元素y属于B，f^{-1}(y)定义为f^{-1}(..(819字) － Logician，2008年10月8日

回复：

a> 对b> 反设G2不是单群，那么取G2的非平凡正规子群H，易证f^{-1}(H)是G1的非平..(149字) － Logician，2008年10月5日

回复：

[quote][b]以下是引用[i]Logician在2008-10-5 21:23:00[/i]..(779字) － cpkug，2008年10月6日

回复：

[quote][b]以下是引用[i]cpkug在2008-10-6 0:01:00[/i]的发言：..(1394字) － Logician，2008年10月6日


	W 3 C h i n a ( since 2003 ) 旗下站点苏ICP备05006046号《全国人大常委会关于维护互联网安全的决定》《计算机信息网络国际联网安全保护管理办法》	62.500ms