b> 设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是同构，如果G1是单群，证明G2也是单群。（说明：若群G除了{e}和G外没有其他的正规子群，G为单群）；

           c> 单群一定是素数阶群；

           d> 单群一定是Abel群；

以上结论对么，能否简单推理下？

首先感谢解惑！

还有其它问题想问：

反设G2不是单群，取G2的非平凡正规子群H，对于任意a∈G2，aH = Ha，所以f^{-1}(aH)=f^{-1}(Ha)，即f^{-1}(a)f^{-1}(H)=f^{-1}(a)f^{-1}(H)，从而f^{-1}(H)是G1的非平凡正规子群，矛盾。

上面这个推理行不？

主要是想问在下面这个前提下：
设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是同构，H是G2的子群，对于任意a∈G2

以下结论是否成立：
f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)
？

如果上面的结论成立的话，把“f是同构”改成“f是满同态映射”是否成立，即以下结论是否成立：
设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是满同态映射，H是G2的子群，对于任意a∈G2，
f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

你最后的命题是成立的。

首先证明 f^{-1}(aH) 是 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 的子集。
对任何 x∈f^{-1}(aH)，
依定义有f(x)∈aH，
从而有h∈H，使得f(x)=ah
即，a^{-1}f(x) = h
任取y∈f^{-1}(a) （由于f是满同态，所以f^{-1}(a)非空，可见这样的y是存在的）
则 a*f(y^{-1}x) = f(y)*f(y^{-1}x) = f(yy^{-1}x) = f(x) = a*h
有消去律可知，f(y^{-1}x)=h∈H，从而 y^{-1}x ∈f^{-1}(H)
这就是说，x = y * y^{-1}x ∈f^{-1}(a)f^{-1}(H)。
这就证明了 f^{-1}(aH) 是 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 的子集。

下面证 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 是 f^{-1}(aH) 的子集。
对任意 x∈f^{-1}(a)f^{-1}(H)
必有y∈f^{-1}(a)，z∈f^{-1}(H)
使得x=yz
注意f(y)=a，f(z)=h∈H
从而f(x)=f(y)f(z)=ah∈aH
即x∈f^{-1}(aH)。
这就证明了 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 是 f^{-1}(aH) 的子集。

Q.E.D.

发现有点小问题，这个问题来源于最开始我给的那个命题表述：
设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是满同态映射，H是G2的子群，对于任意a∈G2，
f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

应该改成：
设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是满同态映射，H是G2的子群，对于任意a∈G2，
f^{-1}(aH) = f^{-1}({a})f^{-1}(H)

在“f^{-1}(a)”这个表达中f^{-1}是一个函数符号，而f只是满射，不确定是否为单射，就不能确定f^{-1}是否符合函数定义，所以“f^{-1}(a)”这个表达是不对的，把“f^{-1}(a)”全部替换成“f^{-1}({a})”应该就问题了；

设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是同构，H是G2的子群，对于任意a∈G2

以下结论肯定是成立的：
f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

在考试中我能直接用这个结论吗，是否需要写证明过程，不写是否会被扣分?

我个人感觉不需要；

以下是引用cpkug在2008-10-6 22:52:00的发言： 感谢精彩证明！ 发现有点小问题，这个问题来源于最开始我给的那个命题表述： 设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是满同态映射，H是G2的子群，对于任意a∈G2，   f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H) 应该改成： 设G1，G2是群，f：G1->G2同态映射，且f是满同态映射，H是G2的子群，对于任意a∈G2，   f^{-1}(aH) = f^{-1}({a})f^{-1}(H) 在“f^{-1}(a)”这个表达中f^{-1}是一个函数符号，而f只是满射，不确定是否为单射，就不能确定f^{-1}是否符合函数定义，所以“f^{-1}(a)”这个表达是不对的，把“f^{-1}(a)”全部替换成“f^{-1}({a})”应该就问题了；

这个我就不知道了
我觉得最好论证一下吧