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     * 贴子主题： 一个图论习题的思考 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     ychj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大二期末(C++考了100分!)
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    发贴心情 一个图论习题的思考

    设G是连通的简单的平面图，围长g(G)=L≥4
    证明 G是L-可着色的

    这道题有点意思。尝试用归纳法, 但是发现归纳假设的前提条件产生变化, 试图对条件划分讨论, 但是还是未能证出。最后证明了命题S: "G是不含K3的连通的简单的平面图, 则G是4-可着色的" 从而得出"G是L-可着色的"。
    在这里, 命题S的前提条件包含本命题前提条件, 用归纳法证S相对容易, 但用归纳法证本命题似乎比较困难。总结了一下, 可能有几点:
    1) 归纳法在有些情况下, 对于相对宽松的条件反而容易证明;
    2) 对于本命题的归纳证明, 思路必须有所改变, 与命题S的证法不同;

    大家讨论讨论, 若不用命题S的结论, 有没有什么办法证明本命题。


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/14 18:09:00
     
     carroty 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大四(GRE考了1600分!)
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    r-m+n=2利用这个,前面不是还有一个命题吗?
    最小点度<=L-1
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/14 23:25:00
     
     ychj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大二期末(C++考了100分!)
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    发贴心情 
    利用r-m+n=2是为了证最小点度<=L-1吧。
    若对阶数n用归纳法, 设n<=k时命题成立。
    当n=k+1时, 由于存在v, d(v)<=L-1, 考查G-v.
    若G-v是L-可着色的, 则G也是L-可着色的 (因为d(v)<=L-1)。
    问题的关键是要证明 G-v是L-可着色的, 考虑v是否为割点两种情况。
    1) 若v不为割点, 则G-v为连通图, 由于生成G-v删除了d(v)条边, 可能导致几种情况:
        a) G-v无圈, 则G-v为树, 只需2种颜色, 从而G只需3种颜色, 当然G是L-可着色的(L>=4);
        b) G-v含圈, 若g(G-v)=L, 利用归纳假设, G-v是L-可着色的, 从而G也是L-可着色的;
        c) G-v含圈, 但g(G-v)=M>L (这是完全可能的)。 若利用归纳假设, 只能得出G-v是M-可着色的, 却不一定是L-可着色的, 于是出了问题。
    2) 若v为割点, 分析类似。

    这个思路其实就是沿用证明不含K3的的方法, 问题就出在围长可能增大的情况。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/15 2:10:00
     
     wenhe1985 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大二(研究C++)
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    发贴心情 
    首先考虑L>=5的情况，根据Heawood五色定理的可以很快得到答案，不需要怎么证明.

    对于L=4的情况，使用Heawood五色定理的思路，加上Euler公式的那个不等式对推广很快噎可以得出答案。

    不过我有一个疑问就是，不是说美国的两个数学家用计算机计算不可约集的方法证明了4－CC为真，那么如果4-CC可以用的话，这道题目就不需要证明。我想问的就是在图论证明的时候可不可以用4-CC?

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/18 13:24:00
     
     DavidPotter 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大三暑假(ITELS考了6.5分!)
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    发贴心情 
    以下是引用ychj在2006-11-15 2:10:00的发言：
    利用r-m+n=2是为了证最小点度<=L-1吧。
    若对阶数n用归纳法, 设n<=k时命题成立。
    当n=k+1时, 由于存在v, d(v)<=L-1, 考查G-v.
    若G-v是L-可着色的, 则G也是L-可着色的 (因为d(v)<=L-1)。
    问题的关键是要证明 G-v是L-可着色的, 考虑v是否为割点两种情况。
    1) 若v不为割点, 则G-v为连通图, 由于生成G-v删除了d(v)条边, 可能导致几种情况:
         a) G-v无圈, 则G-v为树, 只需2种颜色, 从而G只需3种颜色, 当然G是L-可着色的(L>=4);
         b) G-v含圈, 若g(G-v)=L, 利用归纳假设, G-v是L-可着色的, 从而G也是L-可着色的;
         c) G-v含圈, 但g(G-v)=M>L (这是完全可能的)。 若利用归纳假设, 只能得出G-v是M-可着色的, 却不一定是L-可着色的, 于是出了问题。
    2) 若v为割点, 分析类似。

    这个思路其实就是沿用证明不含K3的的方法, 问题就出在围长可能增大的情况。


    在你归纳的时候不要删除最小圈上的点。这个在n>4时是能保证的，那么你删除其他的点是不是不会改变围长了呢？
    如果n==4时就不用说了。

    ----------------------------------------------
    Don‘t try so hard, the best things come when you least expect them to.

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/20 18:08:00
     
     DavidPotter 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    最小点的度数用习题的结论也可以吧：如果min(d(v))==k 那么存在k+1的圈。

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    Don‘t try so hard, the best things come when you least expect them to.

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/20 18:10:00
     
     DavidPotter 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    不好意思，没有看清你的题目。
    我当时想到用极大路径的时候，除了起点，其终点的度数也是小于等于最小度减1的，不过不好用。
    我想如果能证明在最小圈外还有一点就可以了，但是想不出来。。。

    ----------------------------------------------
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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/26 12:34:00
     
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