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     * 贴子主题： 一道有意思的群论题 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 一道有意思的群论题

    设群G是有限生成的，且G中的每个元素都是有限阶的。问：G是否一定是有限群？请证明你的结论。

    注：称一个群G是有限生成的，是指，存在G的一个有穷子集A，使得由A生成的子群<A>=G。（“由A生成的子群”是指G的最小的包含A的子群）。
    “有限生成”的一个等价定义是：G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。即，对任何g∈G，存在a_1,a_2,...,a_k∈A（a_i与a_j未必互异），使得g=a_1*a_2*...*a_k。


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    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/11 2:59:00
     
     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    只能给出一点思想，但无法完全证明，先贴出来，期待正解！！！

    G一定是有限群。

    证: 如果G不是有限群，任取若m个元素，由这m个元素进行运算得到一个元素属于G，这样在G中必然存在这样n个元素，由这n个元素经过某种次序的运算后得到的结果，与当m无限大时m个元素经过某种次序的运算相同。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/11 6:30:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    问题是n可以任意有限大的整数
    所以这样还是不能证明G是有限的
    就像自然数集，里面每个数都是有限大的整数，但是它本身确实无穷集……

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/11 16:56:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    关键是要证明或否定这样一种可能性：a,b是G的元素，a和b都是有限阶的，但是a与b却能经有限次运算组合出无限多种不同的元素。

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     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2007-12-11 16:56:00的发言：
    问题是n可以任意有限大的整数
    所以这样还是不能证明G是有限的
    就像自然数集，里面每个数都是有限大的整数，但是它本身确实无穷集……


    这样讲的话 自然数 就是一个由1有限生成的群了。
    他每个数都是有限大的数，也就都可以由1经有限次运算表示出来了！
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/11 19:12:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    自然数集对加法不构成群（只是独异点）。
    整数集对加法确实构成群，而且是有限生成群。（事实上，任何循环群G都是有限生成群，他们都可以由A={a}生成，其中a是G的生成元）
    问题是，整数加群显然不满足我说的第二个条件：G的每个元素都是有限阶的。
    所以整数加群不是我们要找的东西。

    事实上，人们对所有的“有限生成的Abel群”的结构是很清楚的。
    “所有有限生成的Abel群”构成的集合可以这样刻画：
    1、整数加群<Z,+>是“有限生成的Abel群”；
    2、对任意正整数n，模n加群<Z_n,+_n>是“有限生成的Abel群”；
    3、任意有限多个“有限生成的Abel群”的直和仍是“有限生成的Abel群”。
    4、（在同构意义下）所有的“有限生成的Abel群”都可以经有限次使用上述3条规则而得到。

    由此易见，不存在“有限生成的、所有元素皆为有限阶的无限Abel群”。

    所以如果要证明或否定原命题的话，只需要考虑非交换群就可以了。


    以下是引用九九在2007-12-11 19:12:00的发言：
    这样讲的话 自然数 就是一个由1有限生成的群了。
    他每个数都是有限大的数，也就都可以由1经有限次运算表示出来了！

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     buddha 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    参考课后题17.23的解法，请指教。。。
    首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。
    那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3……
    若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。
    因此，G一定为有限群。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/12 12:50:00
     
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    发贴心情 
    "首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。"
    这个结论是不对的。
    像我前面举过一个例子：令V=<P(N), ◎>，其中P(N)为自然数集N的幂集，◎为对称差运算。则V的每个元素都是有限阶的（除了作为单位元的“空集”外，其它元素都是2阶的）。但是V有很多无限子群。例如V1=<P(2N),◎>，V2=<P(3N),◎>等等，当然V自己也是V的一个无限子群。

    以下是引用buddha在2007-12-12 12:50:00的发言：
    参考课后题17.23的解法，请指教。。。
    首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。
    那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3……
    若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。
    因此，G一定为有限群。

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/12 13:47:00
     
     buddha 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    哦．我想错了．．．
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/12 14:11:00
     
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    发贴心情 
    你实际上证明了这样一个结论：如果G是无限群，且G的每个元素都是有限阶的，那么不存在这样的有限个元素a_1,a_2,……,a_n，使得G=<a_1>∪<a_2>∪……∪<a_n>。

    这个结论和我们要证的东西是不一样的。
    注意到，你考虑的<a_1>∪<a_2>∪……∪<a_n>中的元素全都是“(a_i)^k”这样的形式。
    而没有考虑“a_1*a_2*a_1*a_3*a_1*a_1”这样的东西。
    而如果令A={a_1,a_2,……,a_n}，那么<A>是包括上面这种形式的元素的。
    所以，<A>很可能远大于<a_1>∪<a_2>∪……∪<a_n>。
    你的证明不能否定这样的A的存在性，即，不能排除“虽然A中只有有穷个元素，且每个元素都是有穷阶，但它们却可以通过有穷多次乘积乘出无穷种不同的元素来”的可能性。

    以下是引用buddha在2007-12-12 12:50:00的发言：
    参考课后题17.23的解法，请指教。。。
    首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。
    那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3……
    若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。
    因此，G一定为有限群。

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