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     * 贴子主题： 关于图着色一课后习题好象不可证明 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     chenminyi 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1984-7-28
      
      
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    发贴心情 关于图着色一课后习题好象不可证明

    12.10一个连通简单平面图,存在次数小于等于4的内部面,则该图能够4-面可着色
    本题递归条件似乎不能成立~
    G是4-面可着色<=>G*是4-可着色
    因为其对偶图G*中删除度小于等与4的点v后,不能保证G*-v仍存在度小于等于4的点.
    假设G*-v不存在度数小于等于4的点,任意点v,d(v)>=5
    则2m = d(G*)>=5*(n-1) + 2*d(v)
    又因为G为简单图,所以任意v属于G*,d(v)>=3
    可是这些不能成矛盾!
    比如,可这样构造图G*:G*为20面正多面体图,在里面最小的3角形中再加一点u与3角形3顶点相连,则只存在u,d(u)<=4,且去掉u后,任意顶点度数大于等于5.
    虽然20面正多面体可4着色,但不能由本题结论和希伍德定理得到,除非应用4色定理(4色定理能用吗??)疑问中~群里下的那份答案中好象也忽略了这个问题,我最开始做这个题也忽略了~

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/25 22:39:00
     
     chenminyi 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1984-7-28
      
      
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    发贴心情 
    有没有谁考虑过这个问题给解答一下啊!
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/27 8:36:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    这题已经在这里讨论过，本版精华区还有一位网友证明了这个命题与4色猜想的等价性。
    不过我发信问了北大的刘田教授，他说这个命题是可证的，但归纳的时候要用一些技巧。
    具体怎么证我还没想出来……

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/27 16:11:00
     
     chenminyi 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1984-7-28
      
      
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    发贴心情 
    谢谢了!
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/29 8:31:00
     
     chenminyi 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1984-7-28
      
      
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    发贴心情 
    昨天走路的的时候偶尔想到这个题好象可以这样证明:
    1.一个存在度数小于等于4的点的简单平面图,除了该点外,至少还存在一个度数小于等于5的点.
    否则,其他n-1个点度数都大于等于6,2m>=6(n-1)+4 = 6n - 2 > 2(3n-6),矛盾!
    2.用归纳法证明
    令图中小于等于4度的点为v,则保留v,从V[G-v]中选择一个度数小于等于5的点u,由归纳假设可知G-u为4-可着色(G-u仍为包含点v的图),故与u相邻的点至多有5个点且4颜色,应用教材Hawood定理的方法可证明通过换色G能够4-着色.
    得证!
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/30 8:43:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    嗯，似乎有道理……

    你的意思是说：Heawood的换色法可以用于“把u和5个4-可着色的子图合成一个4-可着色的子图”？
    我一会儿推一下，看看能不能做到……

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/11/30 13:48:00
     
     ychj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    这个思路我已经试过, 但可惜的是,Heawood的换色思想的前提是: 顶点v的度数不大于着色数(需要证明的着色数)。例如, 顶点v度数为5, 但需要证明可4着色, Heawood的换色思想失效了。

    以下是引用chenminyi在2006-11-30 8:43:00的发言：
    昨天走路的的时候偶尔想到这个题好象可以这样证明:
    1.一个存在度数小于等于4的点的简单平面图,除了该点外,至少还存在一个度数小于等于5的点.
      否则,其他n-1个点度数都大于等于6,2m>=6(n-1)+4 = 6n - 2 > 2(3n-6),矛盾!
    2.用归纳法证明
      令图中小于等于4度的点为v,则保留v,从V[G-v]中选择一个度数小于等于5的点u,由归纳假设可知G-u为4-可着色(G-u仍为包含点v的图),故与u相邻的点至多有5个点且4颜色,应用教材Hawood定理的方法可证明通过换色G能够4-着色.
    得证!




    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/1 0:08:00
     
     chenminyi 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1984-7-28
      
      
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    发贴心情 
    好象可以用Heawood的换色思想来证明，如下：
    令归纳过程中那个5色顶点为u，与它相邻的点为v1,v2,v3,v4,v5,其中v1,v2,v3,v4的着色分别为1，2，3，4。v5的着色可能为1，2，3，4中的一种，下面分情况讨论：
    情况一：两个同色点序号相邻（v5的色为1或4）下面以v5的色为1来证明u可用1，2，3，4中一种着色(v5色为4的情况类似)：①v2与v4不连通，则对v2或v4换色即可对u着色2（4） ②v2与v4连通，则v3必然不与v1连通，也不与v5连通，因此可对v3换色1，对u着色3
    情况二：两个同色点序号不相邻（v5的色为2或3）下面以v5的色为2来证明：
    此时v5,v2色为2,v1色为1,则①v1与v5,v2均不连通，则对v1换色2，对u着色1  ②v1与v2,v5中至少一个点连通，假设与v5连通（与v2连通的情况相似），则对v5，v1所在的换变色，着色1的点变为色2，着色2的点变为1，此时v1,v2色为2，v5色为1。这样，可以将这种情况下的着色问题转化为情况一的着色问题（即两个同色点序号相邻）而情况一的着色已经解决~

    大家看看上面的证明有没有问题。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/1 13:34:00
     
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    发贴心情 
    能不能再写得详细一点？
    你关于分情况换色那一段看不太明白……@_@

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     ychj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    主要是现在太忙了, 没有时间帮你仔细看, 但是我曾经试过Headwood换色思想在这种情况下是失效的, 你有时间可以仔细的研究一下, 但前提是你要尽量把两个同色的分离得远些, 就会发现有问题了.


    以下是引用chenminyi在2006-12-1 13:34:00的发言：
    好象可以用Heawood的换色思想来证明，如下：
    令归纳过程中那个5色顶点为u，与它相邻的点为v1,v2,v3,v4,v5,其中v1,v2,v3,v4的着色分别为1，2，3，4。v5的着色可能为1，2，3，4中的一种，下面分情况讨论：
    情况一：两个同色点序号相邻（v5的色为1或4）下面以v5的色为1来证明u可用1，2，3，4中一种着色(v5色为4的情况类似)：①v2与v4不连通，则对v2或v4换色即可对u着色2（4） ②v2与v4连通，则v3必然不与v1连通，也不与v5连通，因此可对v3换色1，对u着色3
    情况二：两个同色点序号不相邻（v5的色为2或3）下面以v5的色为2来证明：
    此时v5,v2色为2,v1色为1,则①v1与v5,v2均不连通，则对v1换色2，对u着色1  ②v1与v2,v5中至少一个点连通，假设与v5连通（与v2连通的情况相似），则对v5，v1所在的换变色，着色1的点变为色2，着色2的点变为1，此时v1,v2色为2，v5色为1。这样，可以将这种情况下的着色问题转化为情况一的着色问题（即两个同色点序号相邻）而情况一的着色已经解决~

    大家看看上面的证明有没有问题。


    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/12 3:42:00
     
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