设R是无零因子环，证明如果方程x^2=x在R中有非零解，则这个解为R的单位元

竞赛图可以是哈密顿图又是欧拉图吗？

麻烦各位解答一下，非常感谢！！

第一题无零因子环满足乘法消去律，ab=1，则aba=a，则ba=1。

第二题要证明环中有乘法单位元而且就是x。任意t属于R满足x^2t=xt，则x^2t-xt=0，则x(xt-t)=0,由于R无零因子且x非零，那么只有xt-t=0,则xt=t，由于t的任意性，则x是R的作单位元。同理可得x也是右单位元。则x是R中的单位元。

第三题竞赛图可以是哈密顿图也是欧拉图。强连通的竞赛图是哈密顿图。竞赛图的基图是无向完全图，要满足欧拉图每个顶点度数要是偶数，那么只有奇数阶的竞赛图才可能是欧拉图，考虑三阶竞赛图，三条边构成一个有向圈，就既是欧拉图也是哈密顿图。再考虑5阶竞赛图，外面的大圈5条边是顺时针的，里面的一个内圈5条边是逆时针的也既是欧拉图也是哈密顿图。不过什么样的竞赛图一定又是欧拉图又是哈密顿图我还没想好。