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     * 贴子主题： 一道有意思的群论题 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 

    举一个变态一点的例子：假如A中有10个元素：A={a_0,a_1,...,a_9}
    考虑π的十进制表示。
    令x_1 = a_3
    x_2 = a_3*a_1
    x_3 = a_3*a_1*a_4
    x_4 = a_3*a_1*a_4*a_1
    ......
    这样下去，我可以写出无穷多个x_i来，每个x_i都是A中元素经i-1次（从而是有限次）运算得到的。而且，因为π的十进制表示没有循环节，所以我们也找不到一个能够利用“每个元素都是有限阶”这一性质去消掉的段落（如果有长为l的循环节的话，那么把这l个元素的乘积记为y，若|y|=k，那么第i个x就会等于第i+k*t个x，因为中间那k*t个元素的乘积等于y^k=e，消掉了）。所以，序列{x_i}似乎有可能是两两互异的。

    举上面这个例子是要说明：从“A中只有有限个元素”和“每个元素都是有限阶”并不能轻易地推出“A生成的子群必然是有限群”。


    以下是引用buddha在2007-12-12 12:50:00的发言：
    参考课后题17.23的解法，请指教。。。
    首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。
    那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3……
    若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。
    因此，G一定为有限群。

    ----------------------------------------------
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    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/12 14:49:00
     
     jason_00 帅哥哟，离线，有人找我吗？金牛座1987-5-14
      
      
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    发贴心情 
    Logician是离散大牛人，鉴定完毕！
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/4/8 14:26:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    找到答案了：这个是"general Burnside problem"。
    http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem
    答案是否定的，但是貌似反例很复杂……

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                                - Bertrand Russell

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     xujianyong 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    看不懂
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