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     * 贴子主题： 关于同态中零元的问题和“构造思维” 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     ouyangj0 帅哥哟，离线，有人找我吗？处女座1985-8-26
      
      
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    发贴心情 关于同态中零元的问题和“构造思维”

    1、按照同态的概念，应该保证代数系统得每个运算符都满足f(a*b)=f(a)&f(b)，包括零元运算在内。比如教材例15.13(2)：
    A={(a 0\\0 0) | a∈R}，则是<A,·>是<M_2(R),·>的真子代数。其中·为矩阵乘法。M_2(R)中关于·的运算的单位元是(1 0\\0 1)，若把乘法单位元看作M_2(R)中的零元运算，那么<A,·,(1 0\\0 0)>不是<M_2(R),·,(1 0\\0 1)}>的子代数，因为A对<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>中的零元运算不封闭。(从论坛拷贝来的：)

    按照这样的说法：独异点作为有零元运算的代数系统，其同态也一定要满足零元的映射：f(e)=e2。

    再看教材P317的一段话：“在一个布尔代数中：0和1分别是∨、∧的单位元，对于一般的代数系统，例如半群和独异点，只有在满射下才能将单位元映到单位元。”我理解其中的意思是为了强调布尔代数和群中有逆元这个运算。
    我的问题是：独异点只有在满射下才能将单位元映到单位元吗？（半群可以这样讲，没有问题，可独异点讲是不是就前后矛盾了呢？）

    谢谢！

    2：还有一个特别想请教各位大侠：关于抽象代数中构造思路的问题：比如18.14怎么就会想到xc = x(a + ab - b)这道题我自己证明了好久都没有思路，最后看答案才“恍然大悟”。在离散数学尤其是其抽象代数和图论中，诸如此类的解决方法很多。我知道，自己看则看懂了，实则还是没有掌握其中的奥妙，如果有的话，我该如何去做，如何去训练这方面的构造思维。

    谢谢！！


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/15 14:48:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    我觉得教材上那句话的意思是“对于一般的代数系统，例如半群和独异点，只有在满射下才能确保将单位元映到单位元。”也就是说，如果只考虑我们“S_1,S_2是两个半群（或独异点），f:S_1->S_2是一个同态映射”，我们无法由此推出“f(e_1)=e_2”（但如果已知S_1,S_2是群，或者已知f是满同态，我们就可以推出f(e_1)=e_2了”，并不是说“只有满同态才会把e_1映到e_2，非满同态就必然把e_1映到别的元素上去”。

    对于你的疑问，我觉得这是这本教材“换体系”不彻底造成的。以往的代数书上，只是把“独异点”定义为“有单位元的半群”，而没有定义什么“零元运算”，所以按传统的代数观点，两个独异点间的同态不一定要保证f(e_1)=e_2。但如果按教材16章的那种定义，确实需要保证f(e_1)=e_2。

    这种换体系不彻底带来的不一致性在书中的很多地方都有体现。比如习题16.1和16.2，明显还是把独异点看成是“有单位元的半群”，而不是一个“有一个二元运算和一个零元运算的代数系统”。

    2. 你说的那道题我是凑出来的。我觉得主要思路就是去找能满足所需要的性质的元素吧。根据代数系统的一些性质，可以使元素在相互组合后仍保持一些性质，同时组合出的元素又有一些新的性质……
        说到底，还是一句老话+空话，就是“熟能生巧”……

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                                - Bertrand Russell

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     borlong 帅哥哟，离线，有人找我吗？魔羯座1986-12-30
      
      
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    发贴心情 
    我分析了北大近几年的试题，关于“跳跃性”的“构造性思维”，很少的。也就是就算要构造也是很容易让考生想到的。不会太钻牛角尖的！ ^___^

    不过，dear logician 说的没错！!!!!!!
    我也是正在按照dear logician 的思路在练习和复习呢！ ^___^

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    落花如雪胜雪香，秋风似水赛水凉。花下醉影不忍看，偏偏圆月又看窗！

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/16 8:17:00
     
     ouyangj0 帅哥哟，离线，有人找我吗？处女座1985-8-26
      
      
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    如果不是满同态，独异点的单位元不一定映射到单位元，这种“不是满同态的同态的同态”还可以称做同态么？？
    呵呵，是不是有点钻牛角尖的嫌疑？：）
    不过问题大概明白了：）

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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    是不是同态要按定义来判断，只要A和B是半群（独异点），f是A到B的函数，而且满足f(x*y)=f(x)*f(y)，那么f就是A到B的同态，从而是半群（独异点）间的同态。

    也就是说，按以前的定义，教材例15.23中的那个代数系统V就是独异点，f就是独异点V上的一个自同态。

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