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     cpkug 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
      
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    发贴心情 离散数学,关于单群及相关的几个判断

               a> 群的同构保持了群的所有性质;

               b> 设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是同构,如果G1是单群,证明G2也是单群。(说明:若群G除了{e}和G外没有其他的正规子群,G为单群);

               c> 单群一定是素数阶群;

               d> 单群一定是Abel群;

    以上结论对么,能否简单推理下?


    [此贴子已经被作者于2008-10-5 20:31:54编辑过]

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2008/10/3 12:13:00
     
     Logician 帅哥哟,离线,有人找我吗?天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    a> 对
    b> 反设G2不是单群,那么取G2的非平凡正规子群H,易证f^{-1}(H)是G1的非平凡正规子群,矛盾。
    c> 不对
    d> 不对
    后两题的解释请google "Simple group"

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2008/10/5 21:23:00
     
     cpkug 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2008-10-5 21:23:00的发言:
    b> 反设G2不是单群,那么取G2的非平凡正规子群H,易证f^{-1}(H)是G1的非平凡正规子群,矛盾。

    首先感谢解惑!


    还有其它问题想问:

    反设G2不是单群,取G2的非平凡正规子群H,对于任意a∈G2,aH = Ha,所以f^{-1}(aH)=f^{-1}(Ha),即f^{-1}(a)f^{-1}(H)=f^{-1}(a)f^{-1}(H),从而f^{-1}(H)是G1的非平凡正规子群,矛盾。

    上面这个推理行不?

    主要是想问在下面这个前提下:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是同构,H是G2的子群,对于任意a∈G2

    以下结论是否成立:
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    如果上面的结论成立的话,把“f是同构”改成“f是满同态映射”是否成立,即以下结论是否成立:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是满同态映射,H是G2的子群,对于任意a∈G2,
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2008/10/6 0:01:00
     
     Logician 帅哥哟,离线,有人找我吗?天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用cpkug在2008-10-6 0:01:00的发言:
    还有其它问题想问:

    反设G2不是单群,取G2的非平凡正规子群H,对于任意a∈G2,aH = Ha,所以f^{-1}(aH)=f^{-1}(Ha),即f^{-1}(a)f^{-1}(H)=f^{-1}(a)f^{-1}(H),从而f^{-1}(H)是G1的非平凡正规子群,矛盾。

    上面这个推理行不?

    主要是想问在下面这个前提下:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是同构,H是G2的子群,对于任意a∈G2

    以下结论是否成立:
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    如果上面的结论成立的话,把“f是同构”改成“f是满同态映射”是否成立,即以下结论是否成立:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是满同态映射,H是G2的子群,对于任意a∈G2,
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)


    你最后的命题是成立的。

    首先证明 f^{-1}(aH) 是 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 的子集。
    对任何 x∈f^{-1}(aH),
    依定义有f(x)∈aH,
    从而有h∈H,使得f(x)=ah
    即,a^{-1}f(x) = h
    任取y∈f^{-1}(a) (由于f是满同态,所以f^{-1}(a)非空,可见这样的y是存在的)
    则 a*f(y^{-1}x) = f(y)*f(y^{-1}x) = f(yy^{-1}x) = f(x) = a*h
    有消去律可知,f(y^{-1}x)=h∈H,从而 y^{-1}x ∈f^{-1}(H)
    这就是说,x = y * y^{-1}x ∈f^{-1}(a)f^{-1}(H)。
    这就证明了 f^{-1}(aH) 是 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 的子集。

    下面证 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 是 f^{-1}(aH) 的子集。
    对任意 x∈f^{-1}(a)f^{-1}(H)
    必有y∈f^{-1}(a),z∈f^{-1}(H)
    使得x=yz
    注意f(y)=a,f(z)=h∈H
    从而f(x)=f(y)f(z)=ah∈aH
    即x∈f^{-1}(aH)。
    这就证明了 f^{-1}(a)f^{-1}(H) 是 f^{-1}(aH) 的子集。

    Q.E.D.

    ----------------------------------------------
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                                - Bertrand Russell

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    发贴心情 
    感谢精彩证明!

    发现有点小问题,这个问题来源于最开始我给的那个命题表述:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是满同态映射,H是G2的子群,对于任意a∈G2,
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    应该改成:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是满同态映射,H是G2的子群,对于任意a∈G2,
    f^{-1}(aH) = f^{-1}({a})f^{-1}(H)

    在“f^{-1}(a)”这个表达中f^{-1}是一个函数符号,而f只是满射,不确定是否为单射,就不能确定f^{-1}是否符合函数定义,所以“f^{-1}(a)”这个表达是不对的,把“f^{-1}(a)”全部替换成“f^{-1}({a})”应该就问题了;

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    发贴心情 
    还有其它问题想问:

    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是同构,H是G2的子群,对于任意a∈G2

    以下结论肯定是成立的:
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    在考试中我能直接用这个结论吗,是否需要写证明过程,不写是否会被扣分?

    我个人感觉不需要;

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    发贴心情 
    貌似书上有约定,对于任意函数f:A->B,任意元素y属于B,f^{-1}(y)定义为f^{-1}({y})。
    我记得好像有这个约定,在“函数”那一章的“完全原像”部分
    如果没有这个约定的话,你说的就是对的

    以下是引用cpkug在2008-10-6 22:52:00的发言:
    感谢精彩证明!

    发现有点小问题,这个问题来源于最开始我给的那个命题表述:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是满同态映射,H是G2的子群,对于任意a∈G2,
      f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    应该改成:
    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是满同态映射,H是G2的子群,对于任意a∈G2,
      f^{-1}(aH) = f^{-1}({a})f^{-1}(H)

    在“f^{-1}(a)”这个表达中f^{-1}是一个函数符号,而f只是满射,不确定是否为单射,就不能确定f^{-1}是否符合函数定义,所以“f^{-1}(a)”这个表达是不对的,把“f^{-1}(a)”全部替换成“f^{-1}({a})”应该就问题了;



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    发贴心情 
    好的,谢谢!
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2008/10/8 19:17:00
     
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    发贴心情 
    以下是引用cpkug在2008-10-6 23:05:00的发言:
    还有其它问题想问:

    设G1,G2是群,f:G1->G2同态映射,且f是同构,H是G2的子群,对于任意a∈G2

    以下结论肯定是成立的:
    f^{-1}(aH) = f^{-1}(a)f^{-1}(H)

    在考试中我能直接用这个结论吗,是否需要写证明过程,不写是否会被扣分?

    我个人感觉不需要;


    这个我就不知道了
    我觉得最好论证一下吧

    ----------------------------------------------
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     xwxwxw123 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
      
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    发贴心情 
    f^{-1}(H)   我想问一下,这个f的反函数一定存在吗?
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2009/2/26 9:19:00
     
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