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     * 贴子主题： 一道线性代数题，有人感兴趣吗？：） 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     borlong 帅哥哟，离线，有人找我吗？魔羯座1986-12-30
      
      
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    嗯，我把这题当作业余练习，谁让北大不考呢！^___^,还是大2学的。
    对！我在努力的寻找其充要条件！

    (2) 提出一些能确保上述等式成立的条件，并证明。

    确保上述等式成立的条件！！！！！！！！！！

    只是说充分条件吧！！！！！！！！！！！！！！

    难道我的思路错了吗？  dear logician 您能指出我的证明错了吗？？？？？
    本来看到以为很简单呢！！！（我的证明也的确简单！）

    我想是这样的！！
    运算的时候，根本不需要A或B可逆的条件！！
    而证明“上述等式成立”过程中需要A或者B可逆的条件！！即：等式成立需要|A|<>0或者|B|<>0。
    充分条件！！！！！！！而题目要求的也是这样吧？？？
    没有要求必要吧！！！
    不过我也在找必要条件！！！！
    有趣极了！！！！！
    有趣！！！！

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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    你的证明没有错呀。
    但既然在A、B都不可逆时这个等式也有可能成立，这说明“A可逆或B可逆时|E-AB|=|E-BA|”这个定理还不是“最好”的（即，还可以继续放宽条件，扩大它的适用范围）。
    也就是说，虽然我们现在已知“A可逆或B可逆时等式成立”，但还可以进一步讨论，还有哪些情况（即使A、B都不可逆）下等式成立。
    你的那个证明我在一本线代辅习教程上看到过，正是在那本教程上看了这个证明，才促使我想到这个命题的。：）
    我目前可以证明的，除了显然的A=B的情况，和你提到的A或B可逆的情况外，还有“当E-AB不可逆时，E-BA也不可逆，从而这时有|E-AB|=|E-BA|=0”。

    即然从现在验证结果看，等式似乎恒成立，那么也许可以找到不需要任何前提条件的证明方法……

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                                - Bertrand Russell

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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    找到证明了。
    由于有结论：
    1、如果n阶矩阵C的特征值依次为λ_1, λ_2, ..., λ_n，那么E-C的特征值依次为1-λ_1, 1-λ_2, ..., 1-λ_n（这个结论在一般的线性代数书中都有证明）。
    2、如果A是m*n阶矩阵，B是n*m阶矩阵（m≥n），则f_AB=λ^(m-n)f_BA。其中f_AB和f_BA分别是AB和BA的特征多项式。这一结论的证明见后（摘自陈大新的《矩阵理论》）。

    由这两个结论就可以知道|E-AB|和|E-BA|对应的特征值完全相同，从而有|E-AB|=|E-BA|。


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    [此贴子已经被作者于2006-10-4 23:06:34编辑过]

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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2006-10-4 22:07:00的发言：
    找到证明了。
    由于有结论：
    1、如果n阶矩阵C的特征值依次为λ_1, λ_2, ..., λ_n，那么E-C的特征值依次为1-λ_1, 1-λ_2, ..., 1-λ_n（这个结论在一般的线性代数书中都有证明）。
    2、如果A是m*n阶矩阵，B是n*m阶矩阵（m≥n），则f_AB=λ^(m-n)f_BA。其中f_AB和f_BA分别是AB和BA的特征多项式。这一结论的证明见后（摘自陈大新的《矩阵理论》）。

    由这两个结论就可以知道|E-AB|和|E-BA|对应的特征值完全相同，从而有|E-AB|=|E-BA|。


    关于结论1，一般的线代书上只证明，如果f(x)是一个多项式，λ是A的一个特征值，那么f(λ)是f(A)的一个特征值。
    这样的证明不能证明如果λ是A的k重特征值，则f(λ)是f(A)的k重特征值，所以还不能证明f(A)的全部特征值就是f(λ_1),f(λ_2),...,f(λ_n)。
    不过上述结论是成立的。证明见下（同样摘自陈大新的《矩阵理论》）。里面先证了一个结论：任何方阵都相似于一个对角矩阵，这个结论在后面的证明要用。


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    原来是这样啊！
    可惜，陈大新的《矩阵理论》我没有读过啊！！
    还是大二时候，学了一本清华版的《线性代数》，只能应付全国统一硕士数学。
    郁闷！！

    dear logician，你的学识真实开阔啊！！！
    了不起！！！
    为了考个硕士研究生，我把所有阅读兴趣全部删除了，整天都在做题目！！
    无奈！！

    有机会也像 dear logician 学习。

    博学一番！！！！！
    看来我要 A Za Za Fighting!!!! ^___^

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    我也是现查的。
    BTW，“A Za Za Fighting”是什么？

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