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     * 贴子主题: 1991-2000高等数学真题参考答案 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     datoubaicai 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
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    发贴心情 1991-2000高等数学真题参考答案

    感谢Smilingface 的订正
    北京大学计算机系1991-2000高等数学真题参考答案
                      Solved by 大头白菜
    1991年
    一、 考查函数定义,隐函数求导以及函数单调性
    1) 证明:由x=y-εsiny得dx/dy=1-εcosy
             由0≤ε<1及0≤cosy≤1知dx/dy=1-εcosy>0.
             因此函数x=y-εsiny单调递增,即对每个x,都有唯一确定的y与之对应.
             由上可知单值函数y=f(x)存在.
    2) dy/dx=1/(1-εcosy).
    二、
    1、查利用幂级数的系数求收敛半径和收敛区间.
    解:令an=(-1)n+1/n
    |an+1/an|=n/n+1
    则lim|an+1/an|=1,因此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1).
    2、考查夹逼定理,定积分的性质
    证明: 由0≤x≤1得:0≤xn/(1+x)≤xn
          由定积分性质知: 0≤∫xn/(1+x)dx≤∫xndx=1/n+1
          显然lim(1/n+1)=0
          由夹逼定理知lim∫xn/(1+x)=0
    1992年
    1、 f(x)的值域为[1/2,1].
    2、 1/3(换元令x=sint)
    5、幂级数的收敛区间为(-1,1),收敛域为[-1,1]
    当-1<x≤1时,和函数=(1+x)ln(1+x)-x
      当x=-1时,和函数=1
    1993年
    1、当x≠0时,f’=[2x2-(1+ x2)ln(1+ x2)]/x2(1+ x2)
    当x=0时,f’=1
    1994年
    1、 dy/dx=-sinx*ecosx/2cos2y
    2、 2(sinx-ln(1+sinx)+C
    3、 ∑an绝对收敛→lim|an|=0→liman^2/|an|=lim|an|=0→∑an^2收敛(比较审敛法的极限形式)
    1995年
    1、 f’=2x*e-(1+x^2)^2
    f’’= e-(1+x^2)^2(2-8x2-8x4)
    2、 ln2-2+∏/2(根据定积分的定义,原式=∫ln(1+x2)dx)
    3、 1)定义域(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)
    2)奇函数
    3)单调递增区间(-∞,-√3], [√3, +∞)
    单调递减区间[-√3,-1],(-1,1),(1,√3]
    极大值点x=-√3
    极小值点x=√3
    4)凸区间(-∞,-1),(0,1]
    凹区间(-1,0],(1,+∞)
    拐点(0,0)
    5)垂直渐进线x=1和x=-1
    斜渐进线y=x
    无水平渐进线
    6)草图略
    5、-x(1+x)/(x-1)3 (-1<x<1)
    1996年
    1、dy/dx=f(-x) (换元令u=t-x)
    2、n!+(n+1)!x+(n+2)!/(2!)^2x^2+……(2n)!/(n!)^2x^n+…… =∑(n+m)!/(m!)^2 x^m  (m从0到+∞)   -∞<x<+∞
       (先将xnex展开,然后再逐项求n阶导)
    1997年
    1、0 (等价无穷小替换和洛必达法则)
    3、 证明:由已知可得-1≤xn≤1
             当0≤xn≤1,xn+1=sinxn≤xn,则{xn}单调递减并有下界,因此limxn必存在。
             当-1≤xn≤0,0≤-xn≤1,- xn+1=sin(-xn)≤-xn,因此xn+1≥xn, 则{xn}单调递增且有上界,因此limxn必存在。
       lim xn=0
    4、x-x2/22+x3/32-……(-1)n-1xn/n2……  (-1≤x≤1)
       收敛区间(-1,1),收敛域[-1,1]
    1998年
    1、1/2 (分子有理化)
    2、∏/4-ln2/2
    3、和函数=x/(x-1)2,收敛域(-∞,-1)∪(1,+∞) (换元t=1/x)
    1999年
    1、 y’|(1,1)=-1
    y’’|(1,1)=0
    2、∫xf(x)dx=sinx-∑(-1)nx2n+1/(2n+1)!(2n+1)+C
       (∫sinx/x dx先把sinx展开成幂级数再逐项积分)
    3、2∑x2n+1/2n+1,收敛域为(-1,1)
    2000年
    1、d2y/d2x=(y-1)(3-y)/x2(2-y)3
    2、面积S=∫√ydy(从0到a2)+∫(x2-a2)dx(从a到1)=4/3a3-a2+1/3 0≤a≤1
       S在a=1/2时取最小值1/4,A点坐标为(1/2,1/4)
    3、由Un+1/Un≥Vn+1/Vn及Un,Vn>0有Vn≤(Vn-1/Un-1)Un
       (Vn-1/Un-1) ≤(Vn-2/Un-2)……≤U1/V1
       Vn≤(U1/V1)Un
       Un收敛,由比较审敛法知Vn收敛。

    [此贴子已经被作者于2006-11-22 9:38:27编辑过]

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     淘客 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
      
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          能保证答案正确吗?

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     Logician 帅哥哟,离线,有人找我吗?天蝎座1984-10-28
      
      
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    即使是官方公布的答案,恐怕也不能“保证答案正确”吧?:)
    发在这里,大家一起对一下就好了。
    如果你的答案不一样,正好拿来讨论啊。:)

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

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     Smilingface 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
      
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    1997年的第四题,-1不是收敛点吧?
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     datoubaicai 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
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    发贴心情 
    x=-1时候,级数变为∑(-1)/n^2,由p-级数,显然是收敛的,并且-1在函数f(x)的定义域内,故收敛域为[-1,1],题目求的是收敛区间给出(-1,1)就行了。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2006/8/24 16:18:00
     
     Smilingface 帅哥哟,离线,有人找我吗?
      
      
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    以下是引用datoubaicai在2006-8-24 16:18:00的发言:
    x=-1时候,级数变为∑(-1)/n^2,由p-级数,显然是收敛的,并且-1在函数f(x)的定义域内,故收敛域为[-1,1],题目求的是收敛区间给出(-1,1)就行了。

    级数收敛是显然的,我是觉得-1不在函数f(x)的定义域内啊。
    因为我们是从ln(1+t)的展开式得到的后面的结果,而在这个展开式中t是不能为-1的,所以作为积分上限的x不能是-1啊。

    我突然又有点明白了,想到-1是t的范围的端点值,所以可以作为积分上限,计算的时候是一个极限的问题,对吧?

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2006/8/24 16:58:00
     
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    发贴心情 
    t和x不一样啊,t>-1,但x可以取-1啊
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2006/8/24 17:09:00
     
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    以下是引用datoubaicai在2006-8-24 17:09:00的发言:
    t和x不一样啊,t>-1,但x可以取-1啊

    恩,NOD,作为端点是可以取的。Thank you!!!

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP:*.*.*.* 2006/8/24 17:49:00
     
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    以下是引用datoubaicai在2006-8-8 18:16:00的发言:
    北京大学计算机系1991-2000高等数学真题参考答案
                       Solved by 大头白菜
    1991年
    一、 考查函数定义,隐函数求导以及函数单调性
    1) 证明:由x=y-εsiny得dx/dy=1-εcosy
              由0≤ε<1及0≤cosy≤1知dx/dy=1-εcosy>0.
              因此函数x=y-εsiny单调递增,即对每个x,都有唯一确定的y与之对应.
              由上可知单值函数y=f(x)存在.
    2) dy/dx=1/(1-εcosy).
    二、
    1、查利用幂级数的系数求收敛半径和收敛区间.
    解:令an=(-1)n+1/n
    |an+1/an|=n/n+1
    则lim|an+1/an|=1,因此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1).
    2、考查夹逼定理,定积分的性质
    证明: 由0≤x≤1得:0≤xn/(1+x)≤xn
           由定积分性质知: 0≤∫xn/(1+x)dx≤∫xndx=1/n+1
           显然lim(1/n+1)=0
           由夹逼定理知lim∫xn/(1+x)=0
    1992年
    1、 f(x)的值域为[1/2,1].
    2、 1/3(换元令x=sint)
    5、幂级数的收敛区间为(-1,1),收敛域为[-1,1]
     当-1<x≤1时,和函数=(1+x)ln(1+x)-x
       当x=-1时,和函数=1
    1993年
    1、当x≠0时,f’=[x2-(1+ x2)ln(1+ x2)]/x2(1+ x2)
    当x=0时,f’=1
    1994年
    1、 dy/dx=-sinx*ecosx/2cos2y
    2、 2(sinx-ln(1+sinx)+C
    3、 ∑an收敛→liman=0→liman2/an=0→∑an2收敛(比较审敛法的极限形式)
    1995年
    1、 f’=2x*e-(1+x^2)^2
    f’’= e-(1+x^2)^2(2-8x2-8x4)
    2、 ln2-2+∏/2(根据定积分的定义,原式=∫ln(1+x2)dx)
    3、 1)定义域(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)
    2)奇函数
    3)单调递增区间(-∞,-√3], [√3, +∞)
    单调递减区间[-√3,-1],(-1,1),(1,√3]
    极大值点x=-√3
    极小值点x=√3
    4)凸区间(-∞,-1),(0,1]
    凹区间(-1,0],(1,+∞)
    拐点(0,0)
    5)垂直渐进线x=1和x=-1
    斜渐进线y=x
    无水平渐进线
    6)草图略
    5、-x(1+x)/(x-1)3 (-1<x<1)
    1996年
    1、dy/dx=f(-x) (换元令u=t-x)
    2、n!+(n+1)!x+(n+2)!/(2!)2x2+……(2n)!/(n!)2xn+……  -∞<x<+∞
        (先将xnex展开,然后再逐项求n阶导)
    1997年
    1、0 (等价无穷小替换和洛必达法则)
    3、 证明:由已知可得-1≤xn≤1
              当0≤xn≤1,xn+1=sinxn≤xn,则{xn}单调递减并有下界,因此limxn必存在。
              当-1≤xn≤0,0≤-xn≤1,- xn+1=sin(-xn)≤-xn,因此xn+1≥xn, 则{xn}单调递增且有上界,因此limxn必存在。
        lim xn=0
    4、x-x2/22+x3/32-……(-1)n-1xn/n2……  (-1≤x≤1)
        收敛区间(-1,1),收敛域[-1,1]
    1998年
    1、1/2 (分子有理化)
    2、∏/4-ln2/2
    3、和函数=x/(x-1)2,收敛域(-∞,-1)∪(1,+∞) (换元t=1/x)
    1999年
    1、 y’|(1,1)=-1
    y’’|(1,1)=0
    2、∫xf(x)dx=sinx-∑(-1)nx2n+1/(2n+1)!(2n+1)+C
        (∫sinx/x dx先把sinx展开成幂级数再逐项积分)
    3、2∑x2n+1/2n+1,收敛域为(-1,1)
    2000年
    1、d2y/d2x=(y-1)(3-y)/x2(2-y)3
    2、面积S=∫√ydy(从0到a2)+∫(x2-a2)dx(从a到1)=4/3a3-a2+1/3 0≤a≤1
        S在a=1/2时取最小值1/4,A点坐标为(1/2,1/4)
    3、由Un+1/Un≥Vn+1/Vn及Un,Vn>0有Vn≤(Vn-1/Un-1)Un
        (Vn-1/Un-1) ≤(Vn-2/Un-2)……≤U1/V1
        Vn≤(U1/V1)Un
        Un收敛,由比较审敛法知Vn收敛。


    96年第三题也就是你写的题号2,最后的结果中通项不能那样写,因为n在题目中表示的是一个常数。

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    以下是引用datoubaicai在2006-8-8 18:16:00的发言:
    北京大学计算机系1991-2000高等数学真题参考答案
                       Solved by 大头白菜
    1991年
    一、 考查函数定义,隐函数求导以及函数单调性
    1) 证明:由x=y-εsiny得dx/dy=1-εcosy
              由0≤ε<1及0≤cosy≤1知dx/dy=1-εcosy>0.
              因此函数x=y-εsiny单调递增,即对每个x,都有唯一确定的y与之对应.
              由上可知单值函数y=f(x)存在.
    2) dy/dx=1/(1-εcosy).
    二、
    1、查利用幂级数的系数求收敛半径和收敛区间.
    解:令an=(-1)n+1/n
    |an+1/an|=n/n+1
    则lim|an+1/an|=1,因此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1).
    2、考查夹逼定理,定积分的性质
    证明: 由0≤x≤1得:0≤xn/(1+x)≤xn
           由定积分性质知: 0≤∫xn/(1+x)dx≤∫xndx=1/n+1
           显然lim(1/n+1)=0
           由夹逼定理知lim∫xn/(1+x)=0
    1992年
    1、 f(x)的值域为[1/2,1].
    2、 1/3(换元令x=sint)
    5、幂级数的收敛区间为(-1,1),收敛域为[-1,1]
     当-1<x≤1时,和函数=(1+x)ln(1+x)-x
       当x=-1时,和函数=1
    1993年
    1、当x≠0时,f’=[x2-(1+ x2)ln(1+ x2)]/x2(1+ x2)
    当x=0时,f’=1
    1994年
    1、 dy/dx=-sinx*ecosx/2cos2y
    2、 2(sinx-ln(1+sinx)+C
    3、 ∑an收敛→liman=0→liman2/an=0→∑an2收敛(比较审敛法的极限形式)
    1995年
    1、 f’=2x*e-(1+x^2)^2
    f’’= e-(1+x^2)^2(2-8x2-8x4)
    2、 ln2-2+∏/2(根据定积分的定义,原式=∫ln(1+x2)dx)
    3、 1)定义域(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)
    2)奇函数
    3)单调递增区间(-∞,-√3], [√3, +∞)
    单调递减区间[-√3,-1],(-1,1),(1,√3]
    极大值点x=-√3
    极小值点x=√3
    4)凸区间(-∞,-1),(0,1]
    凹区间(-1,0],(1,+∞)
    拐点(0,0)
    5)垂直渐进线x=1和x=-1
    斜渐进线y=x
    无水平渐进线
    6)草图略
    5、-x(1+x)/(x-1)3 (-1<x<1)
    1996年
    1、dy/dx=f(-x) (换元令u=t-x)
    2、n!+(n+1)!x+(n+2)!/(2!)2x2+……(2n)!/(n!)2xn+……  -∞<x<+∞
        (先将xnex展开,然后再逐项求n阶导)
    1997年
    1、0 (等价无穷小替换和洛必达法则)
    3、 证明:由已知可得-1≤xn≤1
              当0≤xn≤1,xn+1=sinxn≤xn,则{xn}单调递减并有下界,因此limxn必存在。
              当-1≤xn≤0,0≤-xn≤1,- xn+1=sin(-xn)≤-xn,因此xn+1≥xn, 则{xn}单调递增且有上界,因此limxn必存在。
        lim xn=0
    4、x-x2/22+x3/32-……(-1)n-1xn/n2……  (-1≤x≤1)
        收敛区间(-1,1),收敛域[-1,1]
    1998年
    1、1/2 (分子有理化)
    2、∏/4-ln2/2
    3、和函数=x/(x-1)2,收敛域(-∞,-1)∪(1,+∞) (换元t=1/x)
    1999年
    1、 y’|(1,1)=-1
    y’’|(1,1)=0
    2、∫xf(x)dx=sinx-∑(-1)nx2n+1/(2n+1)!(2n+1)+C
        (∫sinx/x dx先把sinx展开成幂级数再逐项积分)
    3、2∑x2n+1/2n+1,收敛域为(-1,1)
    2000年
    1、d2y/d2x=(y-1)(3-y)/x2(2-y)3
    2、面积S=∫√ydy(从0到a2)+∫(x2-a2)dx(从a到1)=4/3a3-a2+1/3 0≤a≤1
        S在a=1/2时取最小值1/4,A点坐标为(1/2,1/4)
    3、由Un+1/Un≥Vn+1/Vn及Un,Vn>0有Vn≤(Vn-1/Un-1)Un
        (Vn-1/Un-1) ≤(Vn-2/Un-2)……≤U1/V1
        Vn≤(U1/V1)Un
        Un收敛,由比较审敛法知Vn收敛。


    94年第三题应该是用∑|an|与an的平方做比较,因为∑an不是正项级数。

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