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     * 贴子主题： [讨论.离散]一道自然数的题目。 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
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     Smilingface 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 [讨论.离散]一道自然数的题目。

    1.设κ为任意基数，证明：（1）κ的0次方=1,(2)当κ≠0时，0的κ次方=0，（3）κ+κ=2κ

    2.习题十二的14题。

    某年级学生共选修6门课程，期末考试前，必须提前将这6门课程考完，每人每天只在下午至多考一门课程，设6门课程分别为c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6，S(c_i)为学习c_i的学生集合，已知S(c_i)∩S(c_6)≠Φ ,i=1,2,…5 ; S(c_i)∩S(c_{i+1})≠Φ,i=1,2,3,4, S(c_5)∩S(c_1)≠Φ ,问至少安排几天才能考完这6门课程？在天数不增加的条件下，至多有几种安排方案？

    3.习题十三的4题。

    证明：在8X8的国际象棋棋盘的一条主对角线上移去两端1X1的方格后，所有的棋盘不能用1X2的长方形恰好填满。

    怎么做呢？Thank you very much!!!


    [此贴子已经被Logician于2006-5-6 21:14:50编辑过]

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/5/6 18:47:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    1. (1) 因为从空集到任意集合，有且仅有一个全函数，这个函数就是空函数。
    (2) 因为从非空集到空集不存在全函数。
    （参见《离散数学教程》第三章第1节中的讨论）
    (3) 设A和B为两个集合，card A = card B=κ，且A∩B=Φ，按定义κ+κ=card(A∪B)。
    由于card A = card B，故存在双射f:A->B。
        另一方面，令S={0,1}×A。按定义，有card S=2κ。
        作映射g:S->(A∪B)，对所有的<x,y>∈S，令：
                      y，若x=0
            g(<x,y>)=
                      f(y)，若x=1
        g显然是函数。
        对任意<x_1,y_1>,<x_2,y_2>，若g(<x_1,y_1>)=g(<x_2,y_2>)，则必有x_1=x_2（因为A∩B=Φ，y_1和y_2要么都在A中，要么都在B中）。若x_1=0，则由定义有y_1=g(<x_1,y_1>)=g(<x_2,y_2>)=y_2，从而<x_1,y_1>=<x_2,y_2>。若x_1=1，则由定义有
    f(y_1)=g(<x_1,y_1>)=g(<x_2,y_2>)=f(y_2)，而f是双射，所以有y_1=y_2，从而也有<x_1,y_1>=<x_2,y_2>。这就证明了g是单射。
        对任意x∈A∪B，若x∈A，则x=g(<0,x>)∈g(S)，若x∈B，则x=g(<0,f^{-1}(x)>)∈g(S)。从而g是满射。
        这就说明，κ+κ=card(A∪B)=card S=2κ。

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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    3、因为主对角线上两端的方格是同色的。移去后，将使棋盘上黑格子与白格子的数量不相等。而每一个1X2的长方形总是覆盖一个黑格子和一个白格子。因此，所有的棋盘不能用1X2的长方形恰好填满。

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                                - Bertrand Russell

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    2、将6门课抽象为6个顶点，在有冲突的课程间添加边，得到一个6阶轮图。易见，题目所问的问题就是就6阶轮图的点色数和色多项式的问题。
        由于偶数阶轮图是4-色图，所以最少需要4天。
        n阶轮图的色多项式是 f(G,k)=k(k-2)^(n-1) + (-1)^(n-1)k(k-2)。
        代入n=6和k=4即得，f(G,4)=120。

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